Вопрос школьника
На рисунке 144 BD — медиана треугольника ABC, причем АВ = 2BD. Докажите, что ВС — биссектриса угла DBF.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что ВС является биссектрисой угла DBF, нужно показать, что угол DBF, образованный медианой BD и стороной BF, делится на две равные части углом ВСF, образованным биссектрисой ВС и той же стороной BF.
Из условия задачи известно, что BD является медианой треугольника ABC, а также, что АВ = 2BD. Из этого следует, что AD = 2BD, так как медиана делит сторону на две равные части. Также известно, что угол ADB равен углу BDC, так как медиана делит противоположные стороны на равные части.
Рассмотрим треугольник BDF. Из угла ADB следует, что угол BDF равен углу CDB. Также из условия задачи следует, что АВ = 2BD, что означает, что угол ABD равен углу BDA. Таким образом, угол BDF равен сумме углов CDB и BDA.
Рассмотрим теперь треугольник BCF. Из угла ABD следует, что угол CBF равен углу BCA. Также из условия задачи следует, что АВ = 2BD, что означает, что угол ABD равен углу BDA. Таким образом, угол CBF равен сумме углов BCA и BDA.
Сравнивая эти два угла, можно заметить, что они равны. Таким образом, угол BDF равен углу CBF. Но угол CBF является углом ВСF, так как ВС является биссектрисой угла BCF. Таким образом, угол BDF делится на две равные части углом ВСF, что и означает, что ВС является биссектрисой угла DBF.
