Вопрос школьника
На рисунке 158 изображены квадраты со сторонами 10 см, 9 см, 7 см и 4 см. Известно, что сумма площадей двух красных частей равна 112 см2. Найдите сумму площадей двух синих частей
Ответ от учителя
На рисунке 158 изображены четыре квадрата со сторонами 10 см, 9 см, 7 см и 4 см. Обозначим их площади через S1, S2, S3 и S4 соответственно.
Сумма площадей всех квадратов равна:
S1 + S2 + S3 + S4 = 10^2 + 9^2 + 7^2 + 4^2 = 100 + 81 + 49 + 16 = 246 см^2
Пусть красные части находятся на квадратах со сторонами 10 см и 9 см. Обозначим их площади через S1′ и S2′ соответственно. Тогда сумма площадей красных частей равна:
S1′ + S2′ = 112 см^2
Выразим S1′ через S2′ из этого уравнения:
S1′ = 112 — S2′
Теперь рассмотрим синие части. Пусть они находятся на квадратах со сторонами 7 см и 4 см. Обозначим их площади через S3′ и S4′ соответственно. Тогда сумма площадей синих частей равна:
S3′ + S4′
Заметим, что сумма площадей всех квадратов минус сумма площадей красных частей равна сумме площадей синих частей:
S1 + S2 + S3 + S4 — (S1′ + S2′) = S3′ + S4′
Подставим выражение для S1′ и упростим:
S1 + S2 + S3 + S4 — (112 — S2′) = S3′ + S4′
S1 + S2 + S3 + S4 — 112 + S2′ = S3′ + S4′
S1 + S2 — S3′ + S3 + S4 — S4′ = 112
Заметим, что S1 + S2 = S3 + S4, так как это площади квадратов с одинаковыми сторонами. Подставим это равенство и упростим:
2(S3 + S4) — S3′ — S4′ = 112
S3 + S4 = (112 + S3′ + S4′) / 2
Таким образом, чтобы найти сумму площадей двух синих частей, нам нужно найти сумму площадей квадратов со сторонами 7 см и 4 см и вычесть из нее сумму площадей квадратов со сторонами 10 см и 9 см, а затем разделить полученную разность на два:
(S3 + S4) = (112 + S3′ + S4′) / 2 = (112 + (S1′ + S2′) + (S1 + S2 — S3′ — S4′)) / 2
(S3 + S4) = (112 + (112 — S3′ — S4′) + (246 — S3′ — S4′)) / 2
(S3 + S4) = (470 — 2S3′ — 2S4′) / 2
(S3 + S4) = 235 — S3′ — S4′
Теперь осталось найти S3′ и S4′. Для этого воспользуемся тем, что сумма площадей красных частей равна 112 см^2:
S1′ + S2′ = 112
S1′ = 112 — S2′
Таким образом, чтобы найти сумму площадей двух синих частей, нам нужно вычислить S1′, S2′, S3 и S4 и подставить их в формулу:
(S3 + S4) = 235 — S1′ — S2′ — S3 — S4
(S3 + S4) = 235 — (112 — S2′) — S2′ — 49 — 16
(S3 + S4) = 58 + 2S2′ — S3 — S4
Заметим, что S2′ = S1 — S1′, так как это площадь квадрата со стороной 9 см минус площадь красной части на этом квадрате. Аналогично, S4 = S3 — S2′. Подставим это в формулу:
(S3 + S3 — S2′) = 58 + 2(S1 — S1′) — (S3 — S2′) — (S3 — S1 + S1′)
2S3 — 2S1 = 58 + 2S1 — 2S2′ — S3 + S2′ — S3 + S1 — S1′
3S3 — 3S1 = 58 + S1 — S1′ — S2′
Заметим, что S1 + S2 = S3 + S4, то есть S1 — S1′ + S2′ = S4 — S2′. Подставим это в формулу:
3S3 — 3S1 = 58 + S4 — S2′
3S3 — 3S1 = 58 + S3 — S1 + S4 — S3 — S1′
4S1′ = S4 — S2′ — 58
Теперь мы можем выразить S2′ через S1′ и подставить в последнее уравнение:
S2′ = S1 — S1′
4S1′ = S4 — (S1 — S1′) — 58
5S1′ = S4 — S1 — 58
Теперь мы можем выразить S3 и S4 через S1 и S1′ и подставить в формулу для суммы площадей двух синих частей:
S3 = S1 + S1′ — 49
S4 = S1 — S1′ — 16
(S3 + S4) = 235 — S1′ — (S1 + S1′ — 49) — (S1 — S1′ — 16)
(S3 + S4) = 170 — 2S1′
Таким образом, сумма площадей двух синих частей равна 170 — 2S1′, где S1′ = 112 — S2′ и S2′ = S1 — S1′.
