Вопрос школьника
На рисунке 180 треугольник ABC равносторонний, площади красного четырехугольника и синего треугольника равны. Докажите, что BL = CK. Найдите величину угла KEC
Ответ от учителя
Для начала обозначим точку пересечения диагоналей красного четырехугольника как точку D. Так как площади красного четырехугольника и синего треугольника равны, то мы можем записать следующее уравнение:
S(ABCD) = S(CEK)
где S обозначает площадь фигуры.
Так как треугольник ABC равносторонний, то мы можем выразить его площадь через длину стороны:
S(ABC) = (AB^2 * sqrt(3)) / 4
Также мы можем выразить площадь красного четырехугольника через длины его диагоналей:
S(ABCD) = (AC * BD * sin(ACB)) / 2
Так как треугольник ABC равносторонний, то угол ACB равен 60 градусов, а значит sin(ACB) равен sqrt(3) / 2. Также мы можем выразить длины диагоналей через стороны красного четырехугольника:
AC = AB + CD
BD = AD + BC
Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CD = AD. Подставляя все эти выражения в уравнение для площади красного четырехугольника, мы получаем:
S(ABCD) = (AB^2 * sqrt(3)) / 4
Таким образом, мы получаем уравнение:
(AB^2 * sqrt(3)) / 4 = S(CEK)
Так как треугольник ABC равносторонний, то мы можем выразить длину его стороны через площадь:
AB = sqrt((4 * S(ABC)) / sqrt(3))
Подставляя это выражение в уравнение выше, мы получаем:
AB^2 = 4 * S(CEK) * sqrt(3) / sqrt(4 * S(ABC))
AB^2 = S(CEK) * sqrt(3) / S(ABC)
Так как треугольник ABC равносторонний, то его площадь равна:
S(ABC) = (AB^2 * sqrt(3)) / 4
Подставляя это выражение в уравнение выше, мы получаем:
AB^2 = 4 * S(CEK)
Таким образом, мы можем записать:
BD = 2 * AB
AC = 2 * BD
Подставляя это в выражение для длины отрезка BL, мы получаем:
BL = (AC — BD) / 2 = AB
Таким образом, мы доказали, что BL = AB. А так как треугольник ABC равносторонний, то BL = CK.
Чтобы найти величину угла KEC, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника KEC:
EC^2 = CK^2 + KE^2 — 2 * CK * KE * cos(KEC)
Так как CK = BL = AB, а треугольник ABC равносторонний, то мы можем выразить длину отрезка KE через длину стороны треугольника:
KE = AB / 2
Подставляя это в уравнение выше, мы получаем:
EC^2 = AB^2 + (AB^2 / 4) — 2 * AB^2 / 2 * cos(KEC)
EC^2 = 5 * AB^2 / 4 — AB^2 * cos(KEC)
Так как BL = CK, то угол KEC равен углу BLC. Также мы можем выразить длину отрезка EC через длину стороны треугольника:
EC = AB * sqrt(3)
Подставляя это в уравнение выше, мы получаем:
3 * AB^2 = 5 * AB^2 / 4 — AB^2 * cos(KEC)
cos(KEC) = 3 / 5
Таким образом, мы нашли величину угла KEC:
KEC = arccos(3 / 5) ≈ 53.13 градусов.
