Вопрос школьника
На рисунке 288 ABCD — параллелограмм. Угол ABC равен 120°, BD = AD, точка К— середина ВС, точка Р— середина CD, периметр ABCD равен 32 см. Найдите КР.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что BD = AD, а значит, треугольник ABD равнобедренный. Также известно, что точка К — середина ВС, а точка Р — середина CD. Значит, отрезки КР и АВ параллельны и равны между собой.
Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин отрезков AB, BC, CD и DA. Так как BD = AD, то AB = BD = x, а CD = DA = y. Тогда BC = 2x — KR и BD = x + KR.
Из угла ABC, равного 120°, следует, что угол BCD также равен 120°. Значит, треугольник BCD равносторонний, и BC = CD = y.
Тогда периметр ABCD равен:
32 = x + y + 2x — KR + x + y — KR
32 = 4x + 2y — 2KR
16 = 2x + y — KR
KR = 2x + y — 16
Также мы знаем, что отрезки КР и АВ параллельны и равны между собой. Значит, KR = AB = x.
Теперь мы можем составить систему уравнений:
KR = x
KR = 2x + y — 16
Подставляем первое уравнение во второе:
x = 2x + y — 16
y = -x + 16
Таким образом, мы нашли, что y = -x + 16. Заменяем y в уравнении KR = 2x + y — 16:
KR = 2x + (-x + 16) — 16
KR = x — 16
Но мы также знаем, что KR = x. Значит, x — 16 = x, и отсюда следует, что x = 8.
Тогда y = -x + 16 = -8 + 16 = 8.
Итак, мы нашли, что x = 8, y = 8, и KR = x — 16 = -8.
Ответ: КР = -8 см.
