Вопрос школьника
На рисунке 30.7 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, АК = = CL. Докажите, что точки А, К, С, L являются вершинами параллелограмма.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точки А, К, С, L являются вершинами параллелограмма, необходимо показать, что:
1. Стороны АК и CL параллельны и равны по длине.
2. Стороны АС и KL параллельны и равны по длине.
Для начала заметим, что по условию четырёхугольник ABCD является параллелограммом, то есть стороны AB и CD параллельны и равны по длине, а также стороны BC и AD параллельны и равны по длине.
Теперь рассмотрим треугольники АКС и СЛD. По условию АК = CL, а также углы АКС и СЛD равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых AK и SL. Значит, треугольники АКС и СЛD равны по двум сторонам и углу, а значит, их третьи стороны равны: АС = KL.
Таким образом, мы доказали, что стороны АС и KL параллельны и равны по длине. Осталось доказать, что стороны АК и CL параллельны и равны по длине.
Для этого рассмотрим треугольники АКВ и CLD, где В и Д — середины сторон AB и CD соответственно. По определению середины стороны, ВД || AB и ВД = 1/2 AB. Также углы АКВ и CLD равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых AK и CL. Значит, треугольники АКВ и CLD равны по двум сторонам и углу, а значит, их третьи стороны равны: АК = CL.
Таким образом, мы доказали, что стороны АК и CL параллельны и равны по длине, что и требовалось доказать. Следовательно, точки А, К, С, L являются вершинами параллелограмма.
