Вопрос школьника
На рисунке 312 ВС ‖ AD, АВ = 3 см, ВС = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок ВС в точке К. Найдите отрезки ВК i КС
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы угла. Одно из них гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. То есть, если мы обозначим отрезки, на которые биссектриса делит сторону ВС, как ВК и КС, то получим:
$frac{VK}{KS} = frac{AB}{AC}$
Заметим, что треугольник ABD является прямоугольным, так как угол BDA равен 90 градусов (это следует из того, что ВС — диаметр окружности, а угол в полуокружности всегда прямой). Тогда, применяя теорему Пифагора, найдем длину стороны BD:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$BD^2 = 3^2 + 10^2$
$BD^2 = 109$
$BD = sqrt{109}$
Теперь мы можем найти отношение AB/AC:
$frac{AB}{AC} = frac{BD}{DC} = frac{sqrt{109}}{DC}$
Осталось найти длину отрезков ВК и КС. Для этого мы можем воспользоваться тем, что их сумма равна длине стороны ВС:
$VK + KS = VC = 10$
Тогда, зная отношение AB/AC и сумму ВК и КС, мы можем составить систему уравнений:
$begin{cases} VK + KS = 10 \ VK/KS = sqrt{109}/DC end{cases}$
Решая эту систему, получим:
$VK = frac{10sqrt{109}}{sqrt{109} + DC}$
$KS = frac{10DC}{sqrt{109} + DC}$
Осталось найти длину отрезка DC. Для этого заметим, что треугольник ACD подобен треугольнику ABD, так как углы CAD и BAD являются соответственными. Тогда:
$frac{DC}{AB} = frac{AC}{AD}$
$frac{DC}{3} = frac{10}{AD}$
$DC = frac{30}{AD}$
Осталось только подставить это значение в формулы для ВК и КС:
$VK = frac{10sqrt{109}}{sqrt{109} + frac{30}{AD}}$
$KS = frac{10cdotfrac{30}{AD}}{sqrt{109} + frac{30}{AD}}$
Теперь остается только подставить значение AD, которое мы можем найти из теоремы Пифагора для треугольника ABD:
$AD^2 = BD^2 — AB^2$
$AD^2 = 109 — 9$
$AD = sqrt{100} = 10$
Тогда:
$VK = frac{10sqrt{109}}{sqrt{109} + 3} approx 8.2$
$KS = frac{300}{sqrt{109} + 3} approx 1.8$
Ответ: отрезок ВК равен примерно 8.2 см, отрезок КС равен примерно 1.8 см.
