Вопрос школьника
На рисунке 43, а, б изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1С1D1 Сумма площадей треугольников А1В1С1 DСС1 А1АD равна 5/2 см2. Вычислите объем параллелепипеда, если грань АА1В1В есть квадрат и AD = 2АА1
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо использовать формулу для объема параллелепипеда:
V = a * b * h
где a, b, h — длины сторон параллелепипеда.
Из условия задачи известно, что грань АА1В1В является квадратом, а AD = 2АА1. Поэтому, мы можем записать:
AA1 = x
AD = 2x
AB = BC = CD = x
Также из условия задачи известно, что сумма площадей треугольников А1В1С1DСС1 А1АD равна 5/2 см2. Мы можем записать:
S(А1В1С1) + S(DСС1А1) + S(А1АD) = 5/2
Так как грань АА1В1В является квадратом, то треугольники А1В1С1 и DСС1А1 являются равнобедренными. Поэтому, мы можем записать:
S(А1В1С1) = S(DСС1А1) = (1/2) * x * h
где h — высота треугольника.
Также мы можем записать:
S(А1АD) = (1/2) * AA1 * AD = x^2
Подставляя эти значения в уравнение для суммы площадей треугольников, мы получаем:
(1/2) * x * h + (1/2) * x * h + x^2 = 5/2
x * h + x^2 = 5/2
Теперь мы можем выразить высоту h через x:
h = (5/2 — x^2) / x
Также мы можем выразить длину стороны b через x:
b = AA1 + A1С1 = x + h
Так как AD = 2АА1, то мы можем выразить длину стороны a через x:
a = AD = 2x
Теперь мы можем подставить значения a, b и h в формулу для объема параллелепипеда:
V = a * b * h = 2x * (x + (5/2 — x^2) / x) * ((5/2 — x^2) / x)
Упрощая выражение, мы получаем:
V = (5/2) * x * (1 — x^2/5)
Теперь нам нужно найти значение x, при котором объем параллелепипеда максимален. Для этого мы можем найти производную функции V по x и приравнять ее к нулю:
dV/dx = (5/2) * (1 — 3x^2/5) = 0
Отсюда получаем:
x = sqrt(5/3)
Подставляя это значение x в формулу для объема параллелепипеда, мы получаем:
V = (5/2) * sqrt(5/3) * (1 — 5/9) = 5/3 * sqrt(15)
Ответ: объем параллелепипеда равен 5/3 * sqrt(15) кубических сантиметров.
