Вопрос школьника
На рисунке 46, б изображены прямоугольный параллелепипед и пространственная ломаная АСВС₁, длина которой равна 20 см. Вычислите длины всех звеньев ломаной, если длины отрезков С₁В и С А в два раза больше длины отрезка СВ.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо разбить ломаную на отрезки и вычислить их длины. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора и соотношением между сторонами прямоугольного треугольника.
Обозначим длину отрезка С₁В через х. Тогда длины отрезков СВ и СА будут равны 2х.
Рассмотрим треугольник С₁СВ. По теореме Пифагора:
С₁В² = С₁С² + СВ²
Заменим СВ на 2х и С₁С на 20 — х (так как С₁СВ — это отрезок ломаной, равный 20 см):
С₁В² = (20 — х)² + (2х)²
С₁В² = 400 — 40х + х² + 4х²
С₁В² = 5х² — 40х + 400
Теперь рассмотрим треугольник СВА. Он равнобедренный, так как СВ = СА. Поэтому высота, опущенная на основание СВ, будет также являться медианой и медиана делит основание пополам. Значит, отрезок, соединяющий вершину С с серединой ВА, будет равен х.
Тогда по теореме Пифагора:
СА² = СВ² + ВА²
Заменим СВ на 2х:
СА² = (2х)² + ВА²
СА² = 4х² + ВА²
Но мы знаем, что СВ = СА = 2х. Значит, ВА = 2х — х = х.
Теперь мы можем выразить ВА² через х:
ВА² = х²
Подставим это выражение в формулу для СА²:
СА² = 4х² + х²
СА² = 5х²
Таким образом, мы получили выражения для квадратов длин всех отрезков ломаной:
С₁В² = 5х² — 40х + 400
СВ² = 4х²
СА² = 5х²
Чтобы найти длины отрезков, нужно извлечь из этих выражений корни:
С₁В = √(5х² — 40х + 400)
СВ = 2х
СА = √(5х²)
Теперь осталось только подставить значение х и вычислить длины отрезков:
С₁В = √(5·4² — 40·4 + 400) = √(80) = 4√5 см
СВ = 2·4 = 8 см
СА = √(5·4²) = 4√5 см
Таким образом, длины отрезков ломаной равны 4√5 см, 8 см и 4√5 см.
