Вопрос школьника
На рисунке 70 ∠ADB = ∠DBC = 90°, AD = ВС, ∠ABD = 60°. 1) Докажите, что прямые AD и ВС не пересекаются. 2) Между какими целыми числами заключена длина отрезка AD, если BD = 4? 3) Докажите, что треугольник AED равнобедренный, если DE — медиана треугольника ADB.
Ответ от учителя
1) Предположим, что прямые AD и ВС пересекаются в точке О. Тогда в треугольнике AOB имеем два прямых угла (из-за перпендикулярности AD и ВС), а также угол между сторонами AO и BO равный 180° (из-за того, что AD = ВС). Это противоречит теореме о сумме углов треугольника, согласно которой сумма углов треугольника равна 180°. Значит, прямые AD и ВС не пересекаются.
2) Рассмотрим треугольник ABD. Из угла ∠ABD = 60° следует, что угол ∠BAD = 180° — 90° — 60° = 30°. Также из угла ∠ADB = 90° следует, что угол ∠ABD = 180° — 90° = 90°. Значит, треугольник ABD является прямоугольным с катетами AD и BD. Из условия AD = ВС следует, что треугольник ABC также является прямоугольным с катетами ВС и BC. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника ABD и ABC, в которых одинаковые катеты AD и ВС соответственно равны. Значит, гипотенузы BD и BC также равны. Из уравнения Пифагора для треугольника ABD имеем:
AD² = BD² — AB² = 16 — (2√3)² = 16 — 12 = 4
Отсюда получаем AD = 2. Значит, длина отрезка AD заключена между целыми числами 1 и 2.
3) Рассмотрим треугольник AED. Из условия DE — медиана треугольника ADB следует, что DE делит сторону AB пополам. Значит, AD = DB. Также из угла ∠ADB = 90° следует, что угол ∠ADE = ∠BDE. Таким образом, треугольник ADE является равнобедренным, так как он имеет две равные стороны AD и DE и два равных угла ∠ADE и ∠BDE.
