Вопрос школьника
На рисунке 93 изображена правильная треугольная пирамида SABC. Четырехугольник DOKT — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, AC и параллельной прямой, на которой лежит медиана AF грани ABC. Вычислите длины отрезков OD и KT, если SB = 12 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о сечении пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и параллельной основанию. Согласно этой теореме, отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой пересечения плоскости с основанием, делится пропорционально длинам отрезков основания, лежащих на одной стороне от точки пересечения.
Обозначим точку пересечения плоскости с основанием как M. Так как плоскость проходит через середины ребер AS и AC, то точка M является серединой отрезка SC. Также из условия задачи известно, что точка M лежит на медиане AF грани ABC. Значит, точка M является серединой отрезка AF.
Таким образом, мы получили, что AM = MF = MC = 1/3 * AB = 1/3 * 2SB = 8 см.
Далее, поскольку плоскость, проходящая через точки O, K и M, параллельна основанию SABC, то отрезки OD и KT также делятся пропорционально длинам отрезков основания, лежащих на одной стороне от точки пересечения.
Обозначим длины отрезков, на которые делится SC точкой K, а длины отрезков, на которые делится AB точкой D. Тогда, согласно теореме о сечении пирамиды, имеем:
OD/AD = KT/CS
AD = AB — BD = 2SB — KD = 2SB — 2CK = 2(SB — CK) = 2SB — 2/3 * SC = 2SB — 2/3 * 2AM = 2SB — 16/3 = 8 см
CS = SC — CK = 2AM — 2/3 * SC = 2AM — 4/3 * AM = 2/3 * AM = 16/3 см
Таким образом, получаем уравнение:
OD/8 = KT/(16/3)
Откуда следует:
OD = 4/3 * KT
Для того чтобы найти KT, нам нужно найти длину отрезка CK. Для этого заметим, что треугольники SCK и SAM подобны, так как угол SCK равен углу SAM (они соответственные), а угол CKS равен углу AMS (они вертикальные). Значит, имеем:
CK/SC = AM/AB
CK = SC * AM/AB = 2/3 * SC * AM/2SB = 2/3 * 16/3 * 8/24 = 2,67 см
Теперь можем найти KT:
KT = CS — CK = 16/3 — 2,67 = 3,33 см
И, наконец, по формуле, найдем OD:
OD = 4/3 * KT = 4/3 * 3,33 = 4,44 см
Итак, получаем ответ: OD = 4,44 см, KT = 3,33 см.
