Вопрос школьника
На рисунке 94 ∠EPM = ∠PMK = 90°, ∠MEP = ∠MKP = 30°, ME = 10. 1) Докажите, что прямые ЕМ и КР не имеют общих точек. 2) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? 3) Найдите длину медианы MD треугольника РМК.
Ответ от учителя
1) Для того чтобы доказать, что прямые ЕМ и КР не имеют общих точек, нужно показать, что они параллельны. Рассмотрим треугольники MEP и KMP. У них две пары соответственных углов равны (∠EPM = ∠PMK и ∠MEP = ∠MKP), следовательно, третьи углы также равны (∠EMP = ∠KMP). Таким образом, треугольники MEP и KMP подобны. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно, то есть:
ME/MK = EP/MP
Подставим известные значения:
10/MK = EP/MP
EP = 10MK/MP
Также из подобия следует, что углы MEP и KMP прямые, поэтому треугольники MEP и KMP являются прямоугольными. Из этого следует, что MP и KP являются гипотенузами, а EP и KM являются катетами. Так как ∠EPM = 90°, то EP является катетом прямоугольного треугольника MEP, а значит, она меньше гипотенузы MP. Таким образом, EP/MP < 1. Из выражения EP = 10MK/MP следует, что если EP/MP < 1, то MK/MP > 1/10. То есть, отношение MK/MP больше 1/10. Это означает, что отрезок МК длиннее, чем 1/10 отрезка МР. Так как отрезок МР является гипотенузой прямоугольного треугольника МРК, то он является самой длинной стороной треугольника. Значит, отрезок МК длиннее, чем любая другая сторона треугольника. Таким образом, прямые ЕМ и КР не пересекаются.
2) Длина отрезка ЕР равна сумме длин отрезков ЕМ и МР. Из подобия треугольников MEP и KMP следует, что ME/MK = EP/MP. Подставим известные значения:
10/MK = EP/MP
EP = 10MK/MP
Также из подобия следует, что ∠EMP = ∠KMP = 90°, поэтому треугольники MEP и KMP являются прямоугольными. Из этого следует, что MP и KP являются гипотенузами, а EP и KM являются катетами. Так как ∠EPM = 90°, то EP является катетом прямоугольного треугольника MEP, а значит, она меньше гипотенузы MP. Таким образом, EP/MP < 1. Из выражения EP = 10MK/MP следует, что если EP/MP < 1, то MK/MP > 1/10. То есть, отношение MK/MP больше 1/10. Это означает, что отрезок МК длиннее, чем 1/10 отрезка МР. Так как отрезок МР является гипотенузой прямоугольного треугольника МРК, то он является самой длинной стороной треугольника. Значит, отрезок МК длиннее, чем любая другая сторона треугольника.
Таким образом, длина отрезка ЕР заключена между 10 и 11 длинами отрезка МК.
3) Медиана MD является высотой прямоугольного треугольника РМК, опущенной на гипотенузу МК. Из подобия треугольников MEP и KMP следует, что ME/MK = EP/MP. Подставим известные значения:
10/MK = EP/MP
EP = 10MK/MP
Также из подобия следует, что ∠EMP = ∠KMP = 90°, поэтому треугольники MEP и KMP являются прямоугольными. Из этого следует, что MP и KP являются гипотенузами, а EP и KM являются катетами. Так как ∠EPM = 90°, то EP является катетом прямоугольного треугольника MEP, а значит, она меньше гипотенузы MP. Таким образом, EP/MP < 1. Из выражения EP = 10MK/MP следует, что если EP/MP < 1, то MK/MP > 1/10. То есть, отношение MK/MP больше 1/10. Это означает, что отрезок МК длиннее, чем 1/10 отрезка МР. Так как отрезок МР является гипотенузой прямоугольного треугольника МРК, то он является самой длинной стороной треугольника. Значит, отрезок МК длиннее, чем любая другая сторона треугольника.
Таким образом, медиана MD является высотой прямоугольного треугольника РМК, опущенной на гипотенузу МК. Из подобия треугольников MEP и KMP следует, что MD является половиной гипотенузы МК. Таким образом, длина медианы MD равна половине длины отрезка МК, то есть 5.
