Вопрос школьника
На рисунке 96 точка K — середина отрезка CD, AC // KM // DB, AO = 21 см, отрезок OM в 3 раза меньше отрезка MB. Найдите длину отрезка AB
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства параллельных прямых и серединного перпендикуляра.
Из условия задачи мы знаем, что AC // KM // DB. Это означает, что угол AKB является прямым, так как он соответствует вертикальным углам. Также мы знаем, что точка K является серединой отрезка CD, поэтому CK = KD.
Далее, мы можем использовать свойство серединного перпендикуляра, которое гласит, что если точка K является серединой отрезка CD, то отрезок AB перпендикулярен CD и проходит через точку K.
Таким образом, мы можем нарисовать перпендикуляр к CD через точку K и обозначить точку пересечения этого перпендикуляра с AB как точку N.
Теперь мы можем использовать подобие треугольников. Треугольники AOM и BOM подобны, так как у них два угла равны (они соответственные) и сторона OM в 3 раза меньше стороны MB. Значит, соотношение сторон AO : BO : OM равно 1 : 3 : 1.
Мы знаем, что AO = 21 см, поэтому BO = 3 * 21 = 63 см и OM = 21 / 3 = 7 см.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка BN:
BN^2 = BO^2 — ON^2
Мы знаем, что BO = 63 см, а ON = CK / 2, так как точка N является серединой отрезка AB. Мы также знаем, что CK = KD, а CD = 2 * CK, так как точка K является серединой отрезка CD. Значит, CD = 2 * CK = 2 * ON.
Таким образом, мы можем записать:
BN^2 = BO^2 — ON^2
BN^2 = 63^2 — (CD / 2)^2
BN^2 = 63^2 — (2 * ON)^2
BN^2 = 63^2 — 4 * ON^2
BN^2 = 3969 — 4 * (AB / 2)^2
BN^2 = 3969 — AB^2
Теперь мы можем использовать свойство серединного перпендикуляра еще раз. Мы знаем, что точка N является серединой отрезка AB, поэтому AN = NB. Значит, мы можем записать:
2 * BN^2 = AB^2
2 * (3969 — AB^2) = AB^2
7938 — 2 * AB^2 = AB^2
3 * AB^2 = 7938
AB^2 = 2646
Таким образом, длина отрезка AB равна:
AB = sqrt(2646) ≈ 51.4 см
Ответ: длина отрезка AB примерно равна 51.4 см.
