Вопрос школьника
На рисунке АВСD — параллелограмм, диагонали которого равны 7 и 11. Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр треугольника СМD.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти стороны треугольника СМD. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
В параллелограмме АВСD диагонали делятся пополам, поэтому мы можем найти половину диагонали AC, используя теорему Пифагора:
$$
frac{AC}{2} = sqrt{(frac{11}{2})^2 — (frac{7}{2})^2} = sqrt{frac{121}{4} — frac{49}{4}} = sqrt{frac{72}{4}} = 3sqrt{2}
$$
Теперь мы можем найти сторону CD, используя теорему косинусов в треугольнике ACD:
$$
CD^2 = AC^2 + AD^2 — 2 cdot AC cdot AD cdot cos(angle CAD) = 7^2 + (frac{11}{2})^2 — 2 cdot 7 cdot frac{11}{2} cdot cos(angle CAD)
$$
Нам нужно найти косинус угла CAD. Мы знаем, что угол CAD и угол ABC смежные, поэтому они равны. Также мы знаем, что угол ABC равен 180 градусов минус угол BCD, то есть:
$$
angle ABC = 180^circ — angle BCD = 180^circ — angle ACD
$$
Таким образом, мы можем найти косинус угла CAD, используя косинус угла ABC:
$$
cos(angle CAD) = cos(angle ABC) = frac{BD}{AB} = frac{7}{11}
$$
Подставляем это значение в формулу для CD:
$$
CD^2 = 7^2 + (frac{11}{2})^2 — 2 cdot 7 cdot frac{11}{2} cdot frac{7}{11} = frac{169}{4}
$$
Теперь мы можем найти сторону MD, используя теорему Пифагора:
$$
MD^2 = CD^2 — CM^2 = frac{169}{4} — (frac{7}{2})^2 = frac{105}{4}
$$
Таким образом, стороны треугольника СМD равны:
$$
CM = 3sqrt{2}, CD = frac{sqrt{169}}{2} = frac{13}{2}, MD = frac{sqrt{105}}{2}
$$
Периметр треугольника СМД равен сумме этих сторон:
$$
P_{triangle CMD} = CM + CD + MD = 3sqrt{2} + frac{13}{2} + frac{sqrt{105}}{2} approx 14.8
$$
Ответ: периметр треугольника СМД равен примерно 14.8.
