Вопрос школьника
На рисунке CF — биссектриса треугольника CDE, DH — высота, С = 60, СО = 12 см. Найдите расстояние от точки О до прямых СЕ и CD.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся следующие свойства треугольника:
1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
2. Высота треугольника, проведенная к основанию, делит основание на две отрезка, пропорциональные смежным сторонам треугольника.
Используя эти свойства, найдем расстояние от точки О до прямых СЕ и CD.
1. Расстояние от точки О до прямой СЕ:
По свойству биссектрисы треугольника имеем:
$frac{CE}{CD}=frac{BE}{BD}$
Так как треугольник CDE равнобедренный (CE=DE), то
$frac{DE}{CD}=frac{BE}{BD}$
Отсюда следует, что
$BD=frac{BEcdot CD}{DE}$
Также по свойству биссектрисы имеем:
$frac{CF}{CE}=frac{BF}{BE}$
Так как угол C равен 60 градусам, то
$frac{CF}{CE}=frac{sin 60^circ}{sin 120^circ}=frac{1}{2sin 60^circ}=frac{1}{sqrt{3}}$
Отсюда следует, что
$CF=frac{CE}{sqrt{3}}$
Теперь можем найти расстояние от точки О до прямой СЕ. Обозначим это расстояние через h. Тогда по свойству высоты имеем:
$h^2=CO^2-CF^2=12^2-frac{12^2}{3}=8cdot 12=96$
$h=sqrt{96}=4sqrt{6}$
Ответ: расстояние от точки О до прямой СЕ равно 4√6 см.
2. Расстояние от точки О до прямой CD:
По свойству высоты имеем:
$frac{OD}{OC}=frac{BD}{BC}$
Так как треугольник CDE равнобедренный, то
$frac{DE}{CE}=frac{BD}{BC}$
Отсюда следует, что
$BD=frac{DEcdot BC}{CE}$
Так как угол C равен 60 градусам, то
$BC=2cdot CD$
Отсюда следует, что
$BD=frac{DEcdot CD}{CE}$
Теперь можем найти расстояние от точки О до прямой CD. Обозначим это расстояние через h’. Тогда по свойству высоты имеем:
$h’=frac{ODcdot BC}{BD}=frac{12cdot 2CD}{frac{DEcdot CD}{CE}}=24cdotfrac{CE}{DE}$
Так как треугольник CDE равнобедренный, то
$frac{CE}{DE}=sin 30^circ=frac{1}{2}$
Отсюда следует, что
$h’=24cdotfrac{1}{2}=12$
Ответ: расстояние от точки О до прямой CD равно 12 см.
