Вопрос школьника
На рисунке диагонали параллелограмма MNPQ пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если ОА = 1/3 ОМ, OB=2/3ON, OC=1/3OP, OD=2/3OQ.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.
Рассмотрим стороны AB и CD. По условию, точка О является точкой пересечения диагоналей параллелограмма MNPQ, следовательно, она делит каждую диагональ на две равные части. Таким образом, мы можем записать:
OA = OM/3
OD = 2OQ/3
Также из параллельности сторон MNPQ следует, что:
OM || PQ
OQ || MN
Следовательно, углы MON и POQ являются соответственными углами при параллельных прямых, и, следовательно, они равны. Аналогично, углы MOQ и PON также равны.
Теперь рассмотрим стороны AB и CD. Из условия следует, что:
OB = 2ON/3
OC = OP/3
Аналогично, из параллельности сторон MNPQ следует, что:
ON || PQ
OP || MN
Следовательно, углы NOP и QON являются соответственными углами при параллельных прямых, и, следовательно, они равны. Аналогично, углы NOQ и PON также равны.
Теперь мы можем рассмотреть треугольники AOM и COD. Из равенства углов MON и POQ следует, что эти треугольники подобны. Следовательно, мы можем записать:
AB/CD = OA/OD = OM/3 : 2OQ/3 = OM/OQ
Аналогично, рассмотрев треугольники BON и COP, мы можем записать:
AB/CD = OB/OC = 2ON/3 : OP/3 = 2ON/OP
Таким образом, мы получили два выражения для отношения сторон AB и CD, которые должны быть равны, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом:
OM/OQ = 2ON/OP
Разделив первое выражение на второе, получим:
(OM/OQ) / (2ON/OP) = 1
Упрощая, получим:
OM/ON = OQ/OP
Это выражение означает, что отношения сторон параллелограмма MNPQ равны отношениям соответствующих сторон четырехугольника ABCD. Таким образом, мы доказали, что стороны AB и CD параллельны и равны, аналогично можно доказать, что стороны BC и AD также параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
