Вопрос школьника
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать принцип подобия треугольников. Обозначим длину длинного плеча через L, а длину короткого плеча через l. Тогда, по определению журавля, имеем:
L/l = 3/2
Также обозначим расстояние от вертикальной оси до конца короткого плеча через h. При подъеме конца короткого плеча на 1 м, угол между плечами изменится на некоторую величину α. Тогда, по теореме косинусов для треугольника с вершиной в точке сочленения плечей, имеем:
L² = l² + h² — 2lh cos(α)
При этом, по теореме синусов для треугольника с вершиной в конце короткого плеча, имеем:
h/sin(α) = 1
Отсюда можно выразить sin(α) через h:
sin(α) = 1/h
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
L/l = 3/2 = cos(α)/sin(α) = cos(α)h
Отсюда можно выразить cos(α) через L и l:
cos(α) = (3/2) / h = (3/2) / sqrt(L² — l² + 1)
Теперь можно подставить это выражение во второе уравнение и решить его относительно h:
L² = l² + h² — 2lh cos(α)
h² — 2lh cos(α) + (L² — l²) = 0
Дискриминант этого квадратного уравнения равен:
D = (2l cos(α))² — 4(L² — l²)
Подставляя выражения для cos(α) и sin(α), получаем:
D = 4l² (3/2)² / (L² — l² + 1) — 4(L² — l²)
D = 12l² / (L² — l² + 1) — 4L² + 4l²
D = 8l² — 4L² + 12l² / (L² — l² + 1)
Теперь можно найти значения h, соответствующие двум корням квадратного уравнения:
h = [2l cos(α) ± sqrt(D)] / 2
h = l cos(α) ± sqrt(2l² — L² + l² — 1)
При этом нужно выбрать знак перед корнем так, чтобы при подъеме короткого плеча на 1 м конец длинного плеча опускался. То есть нужно выбрать знак минус:
h = l cos(α) — sqrt(2l² — L² + l² — 1)
Подставляя числовые значения L = 3 м, l = 2 м, получаем:
h = 2 cos(α) — sqrt(7)
Осталось только вычислить cos(α) по формуле, которую мы получили ранее:
cos(α) = (3/2) / sqrt(L² — l² + 1) = 3 / sqrt(5)
Подставляя это значение, получаем:
h = 2 (3 / sqrt(5)) — sqrt(7) ≈ 0.53 м
Таким образом, конец длинного плеча опустится на примерно 0.53 м при подъеме конца короткого плеча на 1 м.
