Вопрос школьника
На рисунке точка D — середина стороны BC треугольника ABC, DP⊥AB, DF⊥AC, DP = DF. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нужно показать, что стороны AB и AC равны между собой.
Из условия задачи известно, что точка D является серединой стороны BC, то есть BD = DC.
Также из условия задачи следует, что DP⊥AB и DF⊥AC, а также DP = DF.
Рассмотрим треугольники ADP и ADF. Они имеют общую сторону AD и равные высоты DP и DF, соответственно. Также из условия задачи следует, что у них равны гипотенузы: DP = DF.
Следовательно, треугольники ADP и ADF равны между собой по гипотенузе и катету, а значит, у них равны углы при вершине A.
Таким образом, углы BAC, BAD и CAF равны между собой.
Но угол BAD равен углу DAC, так как точка D является серединой стороны BC.
Следовательно, углы BAC и CAF равны между собой, а значит, стороны AB и AC равны между собой.
Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
