Вопрос школьника
На рисунке точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя, необходимо показать, что каждая точка треугольника ABC при таком повороте остается на своем месте.
Для начала заметим, что точка D является центром вписанной окружности треугольника ABC, так как она является точкой пересечения биссектрис углов A, B и C. Также заметим, что угол между любыми двумя биссектрисами равен 60°, так как треугольник ABC равносторонний.
При повороте треугольника ABC на угол 120° вокруг точки D, каждая точка треугольника будет повернута на угол 120° вокруг центра вписанной окружности. Так как угол между любыми двумя радиусами окружности равен 60°, то каждая точка треугольника будет повернута на угол, кратный 60°.
Таким образом, каждая точка треугольника ABC при повороте на угол 120° вокруг точки D будет оставаться на своем месте, так как угол поворота будет кратен 60°, а треугольник ABC является равносторонним. Следовательно, при таком повороте треугольник ABC отображается на себя.
