Вопрос школьника
На рисунке треугольник ABC — равнобедренный с основанием АС. Найдите скалярное произведение векторов ВА и ВС если BC = 4,∠A = 67,5°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что скалярное произведение векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
$${vec a}cdot{vec b}=|{vec a}|cdot|{vec b}|cdotcostheta$$
где ${vec a}$ и ${vec b}$ — векторы, $theta$ — угол между ними.
В данном случае нам нужно найти скалярное произведение векторов ${vec{BA}}$ и ${vec{BC}}$. Для этого нам нужно найти эти векторы.
Из условия задачи мы знаем, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Значит, угол $BAC$ равен углу $BCA$, то есть $angle BAC = angle BCA = 67,5^circ$. Также из условия задачи мы знаем, что $BC = 4$.
Рассмотрим вектор ${vec{BA}}$. Он направлен от точки $A$ к точке $B$, то есть ${vec{BA}} = -{vec{AB}}$. Модуль вектора ${vec{AB}}$ равен длине стороны $AB$, которая равна стороне $BC$ по условию задачи, то есть $|{vec{AB}}| = |{vec{BC}}| = 4$. Угол между векторами ${vec{BA}}$ и ${vec{BC}}$ равен $angle ABC — angle CBA = 180^circ — 2angle BAC = 45^circ$ (используем свойства равнобедренного треугольника).
Теперь рассмотрим вектор ${vec{BC}}$. Его модуль равен длине стороны $BC$, то есть $|{vec{BC}}| = 4$. Угол между векторами ${vec{BC}}$ и ${vec{BA}}$ равен углу между векторами ${vec{BA}}$ и ${vec{BC}}$, то есть $45^circ$.
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов ${vec{BA}}$ и ${vec{BC}}$:
$${vec{BA}}cdot{vec{BC}} = |{vec{BA}}|cdot|{vec{BC}}|cdotcostheta = 4cdot4cdotcos45^circ = 8$$
Ответ: скалярное произведение векторов ${vec{BA}}$ и ${vec{BC}}$ равно 8.
