Вопрос школьника
На рисунке треугольник ABC — равнобедренный с основанием ВС. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС, если АС = 10, ∠B = 75°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать, что скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:
$${vec a}cdot{vec b}=|{vec a}|cdot|{vec b}|cdotcostheta$$
В данном случае нам нужно найти скалярное произведение векторов $vec{AB}$ и $vec{AC}$, которые начинаются в точке $A$. Для этого нам нужно найти координаты этих векторов.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то угол $BAC$ равен $45$ градусов. Также из условия задачи известно, что $AC=10$.
Теперь мы можем найти координаты векторов $vec{AB}$ и $vec{AC}$:
$$vec{AB}=begin{pmatrix}x_B-x_A\y_B-y_Aend{pmatrix}=begin{pmatrix}0-1\0-0end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1\0end{pmatrix}$$
$$vec{AC}=begin{pmatrix}x_C-x_A\y_C-y_Aend{pmatrix}=begin{pmatrix}cos 45^circcdot 10\ sin 45^circcdot 10end{pmatrix}=begin{pmatrix}5sqrt{2}\5sqrt{2}end{pmatrix}$$
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов $vec{AB}$ и $vec{AC}$:
$${vec{AB}}cdot{vec{AC}}=(-1)cdot(5sqrt{2})+0cdot(5sqrt{2})=-5sqrt{2}$$
Ответ: скалярное произведение векторов $vec{AB}$ и $vec{AC}$ равно $-5sqrt{2}$.
