Вопрос школьника
На рисунке треугольник ABD — равнобедренный с основанием BD. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD, если АВ = 6, ∠D = 67,5°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать, что скалярное произведение векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
AB · AD = |AB| · |AD| · cos(∠BAD)
Так как треугольник ABD равнобедренный, то угол ∠BAD равен 67,5°/2 = 33,75°. Также из условия задачи известно, что |AB| = 6.
Осталось найти длину вектора AD. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов:
|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 — 2|AB||BD|cos(∠ABD)
Так как треугольник ABD равнобедренный, то ∠ABD = 180° — 2∠BAD = 112,5°. Также из равенства сторон треугольника ABD следует, что |BD| = |AB| = 6. Подставляя все значения в формулу, получаем:
|AD|^2 = 6^2 + 6^2 — 2·6·6·cos(112,5°) ≈ 72,97
|AD| ≈ √72,97 ≈ 8,54
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AB и AD:
AB · AD = |AB| · |AD| · cos(∠BAD) ≈ 6·8,54·cos(33,75°) ≈ 43,98
Ответ: AB · AD ≈ 43,98.
