Вопрос школьника
На столе лежат книги. Их меньше 20. Эти книги можно разложить по 2, по 3 и по 4. Сколько книг на столе?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.
Пусть x — количество книг на столе. Тогда мы знаем, что x = 2a + 1, x = 3b + 2 и x = 4c + 3, где a, b, c — целые числа.
Теперь мы можем решить систему уравнений методом китайской теоремы об остатках.
1. Найдем N — произведение всех модулей (2, 3, 4): N = 2 * 3 * 4 = 24.
2. Найдем N1, N2, N3 — модули, соответствующие каждому уравнению: N1 = 3 * 4 = 12, N2 = 2 * 4 = 8, N3 = 2 * 3 = 6.
3. Найдем обратные элементы для каждого модуля: 12 * 1 ≡ 1 (mod 2), 8 * 3 ≡ 1 (mod 3), 6 * 1 ≡ 1 (mod 4).
4. Теперь можем найти решение системы:
x ≡ 2a + 1 ≡ 12 * 1 * (3b + 2) + 8 * 3 * (2c + 3) + 6 * 1 * d ≡ 12 * 1 * (3b + 2) + 8 * 0 + 6 * 1 * d ≡ 12 * 1 * (3b + 2) + 6 * 1 * d ≡ 6 * (2b + 1) + 12 * (b + d) (mod 24).
Таким образом, мы получили, что x может быть представлено в виде x = 6k + 12m, где k и m — целые числа.
Осталось найти все возможные значения x, удовлетворяющие условию задачи (x < 20).
Подставляем k = 0, 1, 2, 3 и соответствующие значения m:
- k = 0, m = 0: x = 0 + 0 = 0 (не подходит, так как x > 0).
— k = 1, m = 0: x = 6 + 0 = 6.
— k = 2, m = 0: x = 12 + 0 = 12.
— k = 3, m = 0: x = 18 + 0 = 18.
— k = 0, m = 1: x = 0 + 12 = 12.
— k = 1, m = 1: x = 6 + 12 = 18.
— k = 2, m = 1: x = 12 + 12 = 24 (не подходит, так как x > 20).
— k = 3, m = 1: x = 18 + 12 = 30 (не подходит, так как x > 20).
Таким образом, на столе может лежать 3 книги (если все книги одинаковые) или 6, 12 или 18 книг (если книг разных).
