Вопрос школьника
На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки P, Q, R и T так, что BP : BQ = DR : DT. Докажите, что PQ || RT.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники BPC и DTC. Они имеют соответственно параллельные стороны BP и DT, а также углы при вершине C равны (так как ABCD — параллелограмм). Поэтому эти треугольники подобны друг другу по признаку угловой сходности.
Из подобия треугольников BPC и DTC следует, что BP/DT = PC/TC.
Также из условия задачи имеем BP/BQ = DR/DT.
Следовательно, DR/BQ = PC/TC.
Но DR/BQ = RD/QB (по свойству отношения частей отрезка), а PC/TC = CP/PT (аналогично).
Таким образом, получаем RD/QB = CP/PT.
Заметим, что треугольники BQR и DRT имеют соответственно параллельные стороны BQ и DT, а также углы при вершине R равны (так как ABCD — параллелограмм). Поэтому эти треугольники подобны друг другу по признаку угловой сходности.
Из подобия треугольников BQR и DRT следует, что BQ/DT = QR/RT.
Также из условия задачи имеем BP/BQ = DR/DT.
Следовательно, DR/BQ = BP/DT.
Но DR/BQ = RD/QB (как мы уже выяснили), а BP/DT = PC/TC (из первого равенства).
Таким образом, получаем RD/QB = CP/PT = QR/RT.
Отсюда следует, что PQ || RT (по признаку параллельности прямых).
