Вопрос школьника
На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G и H так, что FH || AB, EG || BC. Докажите, что точка O пересечения отрезков EG и FH лежит на прямой AC тогда и только тогда, когда четырехугольники BFOE и DHOG равновелики
Ответ от учителя
Для начала заметим, что параллелограмм ABCD можно рассматривать как два треугольника: ABC и ACD. Точка пересечения EG и FH, которую мы обозначили буквой O, лежит на прямой AC тогда и только тогда, когда треугольники AEO и CFO равновелики (по теореме о пересекающихся прямых).
Теперь рассмотрим четырехугольники BFOE и DHOG. Они равновелики тогда и только тогда, когда их площади равны. Площадь четырехугольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников, образованных диагоналями четырехугольника.
Таким образом, чтобы доказать, что BFOE и DHOG равновелики, нам нужно доказать, что площади треугольников AEO и CFO равны.
Рассмотрим треугольники AEO и CFO. Они равновелики тогда и только тогда, когда их высоты на основания (то есть на стороны параллелограмма) равны.
Заметим, что FH || AB и EG || BC, поэтому высоты треугольников AEO и CFO на стороны AB и BC соответственно равны.
Таким образом, мы доказали, что BFOE и DHOG равновелики тогда и только тогда, когда точка O лежит на прямой AC.
