Вопрос школьника
На сторонах AB, BC и CA равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечены точки L, M и N так, что AL = LN = BM. Докажите, что MN = MC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AM = AC/2 и BN = BC/2. Также, так как AL = LN, то AN = 2AL. Значит, AN = AC — CN = 2AL, откуда следует, что CN = AC — 2AL = AC/2 = AM. Таким образом, мы получили, что BN = AM и CN = AM.
Рассмотрим теперь треугольник MNC. Так как BN = AM и CN = AM, то угол MNC равен углу MCB + углу ACN. Но так как треугольник ABC равнобедренный, то угол MCB равен углу ACB/2. Также, так как AL = LN, то угол ACN равен углу ALC. Но так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ALC равен углу ACB/2. Значит, угол MNC равен углу ACB, то есть треугольник MNC равнобедренный, и MN = MC.
