Вопрос школьника
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отмечены точки L, M и N так, что AN = NL = BM, BL = MN. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нужно показать, что две его стороны равны. Обозначим длину стороны AB как a, стороны BC как b и стороны CA как c.
Из условия задачи известно, что AN = NL = BM и BL = MN. Рассмотрим треугольники ANL и BNM. Они равны по двум сторонам и углу между ними (по условию AN = NL = BM и BL = MN, а угол ANL = BNM, так как это вертикальные углы). Значит, третья сторона этих треугольников равна: AL = BN.
Рассмотрим теперь треугольники ABC и ABL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (по условию AL = AB и углу ABL = ABC). Значит, третья сторона этих треугольников равна: BL = AC.
Из полученных равенств следует, что AB = AL + BL = BN + AC = BC. То есть сторона AB равна стороне BC, что и означает равнобедренность треугольника ABC.
