Вопрос школьника
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отмечены точки L, M и N так, что середины отрезков MN и CL совпадают и ∠B = ∠MLN. Докажите, что AB = AC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC и проведем медиану CM. Пусть точка пересечения медианы с стороной AB называется P. Тогда, по свойству медианы, AP = PB.
Также, по условию задачи, середина отрезка CL совпадает с серединой отрезка MN. Обозначим эту точку как O. Тогда, по свойству серединного перпендикуляра, MO = NO и OL = LC.
Рассмотрим треугольник MOL. Из условия задачи следует, что ∠B = ∠MLN. Также, по свойству серединного перпендикуляра, OL = LM. Значит, треугольники BOL и BLN подобны по двум углам. Аналогично, треугольники CON и COM подобны.
Отсюда следует, что OL/BL = NL/BL и ON/CN = OM/CM. Так как OL = LC и ON = NC, то получаем, что LC/BL = NC/BL и NC/CN = MC/CM.
Из этих равенств следует, что LC = NC и MC = BC/2. Также, из равенства OL = LC следует, что OL = NC. Значит, треугольник LNC равнобедренный, и ∠LNC = ∠LCN.
Рассмотрим треугольник LPC. Из свойства медианы следует, что AP = PB. Также, из равенства OL = LC следует, что OL = NC. Значит, треугольник LNC равнобедренный, и ∠LNC = ∠LCN. Таким образом, ∠LPN = ∠LPB.
Так как ∠B = ∠MLN, то треугольники BOL и BLN подобны. Значит, ∠LBN = ∠LOB. Также, ∠LPN = ∠LPB. Следовательно, ∠LBN + ∠LPN = ∠LOB + ∠LPB. Но ∠LOB + ∠LPB = ∠B, так как треугольник BOL равнобедренный. Значит, ∠LBN + ∠LPN = ∠B.
Рассмотрим треугольник LBN. Из равенства ∠LBN + ∠LPN = ∠B следует, что ∠LBN = ∠ABC. Также, из подобия треугольников BOL и BLN следует, что BL/BN = BO/BL. Значит, BL² = BN·BO.
Рассмотрим треугольник ABC. Из свойства медианы следует, что AM = MC. Также, из подобия треугольников CON и COM следует, что CN/BC = CO/CN. Значит, CN² = CO·BC.
Таким образом, мы получили, что BL² = BN·BO и CN² = CO·BC. Значит, BL²/CN² = BO/CO. Но BL/CN = 1, так как точка O — середина отрезка CL. Значит, BO = CO и треугольник BOC равнобедренный.
Так как ∠BOC = 2∠BAC, то ∠BAC = ∠BCA. Значит, треугольник ABC равнобедренный, и AB = AC.
