Вопрос школьника
На сторонах AB и AC треугольника ABC, описанного около окружности с центром O, отмечены точки D и E так, что OD || AC и OE || AB. Докажите, что AD = DO = OE = EA.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник AOE. Он равнобедренный, так как OE = OA (радиус окружности) и угол AOE равен углу OAE (так как OE || AB). Значит, угол OAE равен половине угла AOE.
Аналогично, рассмотрим треугольник AOD. Он также равнобедренный, так как OD = OA (радиус окружности) и угол AOD равен углу OAD (так как OD || AC). Значит, угол OAD равен половине угла AOD.
Так как угол AOE равен углу AOD (они равны половине одного и того же угла), то треугольники AOE и AOD подобны. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как OE = OA и OD = OA, то получаем:
OE/AD = OA/AO = OD/EA
Отсюда следует, что AD = DO = OE = EA, так как OE = OA и OD = OA.
