Вопрос школьника
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = DE и ∠BAE = ∠CAE. Докажите, что DE || AC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ADE. Из условия задачи следует, что AD = DE и ∠BAE = ∠CAE. Также, по построению, угол ADE является внутренним углом треугольника ABC, то есть ∠ADE = ∠ABC.
Рассмотрим теперь треугольник ACE. Из условия задачи следует, что ∠BAE = ∠CAE. Также, по построению, угол ACE является внутренним углом треугольника ABC, то есть ∠ACE = ∠ABC.
Из этих двух равенств следует, что ∠ADE = ∠ACE. Таким образом, треугольники ADE и ACE подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
AD/AC = DE/CE
Так как AD = DE, то можно записать:
AD/AC = DE/CE = 1/x
где x — некоторое число.
Отсюда следует, что DE || AC, так как это условие эквивалентно тому, что DE/AC = 1/x.
