Вопрос школьника
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N соответственно, отрезки MH и NK – перпендикуляры, проведенные из этих точек к стороне AC. Известно, что ∠AMH = ∠CNK. Докажите, что AB = BC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники AMH и CNK. У них есть общий угол при вершине C, а также равные углы ∠AMH и ∠CNK. Значит, эти треугольники подобны по признаку угол-угол-угол.
Отсюда следует, что отношение длин сторон треугольников AMH и CNK равно отношению длин соответствующих сторон треугольников ABC и ACB:
$frac{AM}{CN}=frac{MH}{NK}=frac{AB}{BC}$
Так как ∠AMH = ∠CNK, то MHKN – это четырехугольник, вписанный в окружность. Значит, углы ∠MHN и ∠MKN равны, а значит, отрезки MH и NK равны.
Из равенства отрезков MH и NK следует, что отношение длин сторон треугольников AMH и CNK равно отношению длин сторон AM и CN:
$frac{AM}{CN}=frac{MH}{NK}=1$
Отсюда следует, что AM = CN. Но это означает, что треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = BC.
