Вопрос школьника
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок BF равен высоте BH треугольника и FG || AC. Найдите площадь треугольника ABC, учитывая, что AF = 1 см, GC = 1,7 см и расстояние между прямыми AC и FG равно 0,8 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и формулу площади треугольника.
Обозначим точку пересечения высоты BH и стороны AC как точку D. Так как треугольник ABC является прямоугольным, то BD является медианой и высотой, а значит, точка D делит сторону AC на две равные части.
Также заметим, что треугольники ABF и BHD подобны, так как у них соответственные углы равны (угол ABF равен углу BHD, так как это вертикальные углы, а угол AFB равен углу BHD, так как это прямые углы). Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
$frac{BF}{BH} = frac{AB}{BD}$
Так как BF равно высоте BH, то получаем:
$BF^2 = AB cdot BD$
Аналогично, треугольники BGC и BHD подобны, и мы можем записать:
$frac{GC}{BH} = frac{BC}{BD}$
Подставляя значение GC и BD, получаем:
$GC cdot BD = 1,7 cdot frac{AC}{2}$
Также заметим, что треугольники AFB и GDC подобны, так как у них соответственные углы равны (угол AFB равен углу GDC, так как они соответственные, а угол ABF равен углу DGC, так как это вертикальные углы). Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
$frac{AF}{GC} = frac{BD}{DC}$
Подставляя значения AF и GC, получаем:
$frac{BD}{DC} = frac{1}{1,7}$
Отсюда следует, что BD равно $frac{AC}{2,7}$, а DC равно $frac{1,7}{2,7} cdot AC$.
Теперь мы можем выразить площадь треугольника ABC через стороны AB и AC:
$S_{ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC$
Выразим сторону AB через BD и BC, используя подобие треугольников ABF и BGC:
$frac{AB}{BC} = frac{BF}{GC}$
Подставляя значения BF и GC, получаем:
$AB = frac{BF}{GC} cdot BC = frac{BF}{1,7} cdot AC$
Выражаем площадь через AC:
$S_{ABC} = frac{1}{2} cdot frac{BF}{1,7} cdot AC^2$
Осталось выразить BF через AC и BD, используя равенство $BF^2 = AB cdot BD$:
$BF = sqrt{AB cdot BD} = sqrt{frac{BF}{1,7} cdot AC cdot frac{AC}{2,7}} = frac{AC}{sqrt{2,7}} cdot sqrt{frac{BF}{1,7}}$
Подставляем это выражение для BF в формулу для площади:
$S_{ABC} = frac{1}{2} cdot frac{AC}{1,7} cdot left(frac{AC}{sqrt{2,7}} cdot sqrt{frac{BF}{1,7}}right)^2 = frac{AC^2}{5,8} cdot sqrt{frac{BF}{1,7}}$
Осталось выразить BF через расстояние между прямыми AC и FG. Заметим, что треугольники BFG и BDC подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BFG равен углу BDC, так как это вертикальные углы, а угол BGF равен углу BCD, так как это прямые углы). Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
$frac{BF}{DC} = frac{FG}{BD}$
Подставляя значения BF, DC и BD, получаем:
$frac{BF}{frac{1,7}{2,7} cdot AC} = frac{0,8}{frac{AC}{2,7}}$
Отсюда следует, что $BF = frac{0,8}{2,7} cdot frac{AC^2}{1,7}$.
Подставляем это выражение для BF в формулу для площади:
$S_{ABC} = frac{AC^2}{5,8} cdot sqrt{frac{frac{0,8}{2,7} cdot frac{AC^2}{1,7}}{1,7}} = frac{0,8}{5,8 cdot sqrt{1,7}} cdot AC^2$
Подставляем значения AF и GC:
$S_{ABC} = frac{0,8}{5,8 cdot sqrt{1,7}} cdot (AF + GC)^2 = frac{0,8}{5,8 cdot sqrt{1,7}} cdot (1 + 1,7)^2 = boxed{0,56 text{ см}^2}$
