Вопрос школьника
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки F и G соответственно так, что FG II АС. Найдите отрезок AC, учитывая, что AF + GC = m, BF + BG = n и FG = a.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольник ABC разделен отрезком FG на два подобных треугольника: ABF и GBC. Поэтому можно записать следующие соотношения:
$frac{AF}{BF} = frac{GC}{BG}$ и $frac{AF}{AF+BF} = frac{GC}{GC+BG}$
Первое соотношение можно переписать в виде:
$AF cdot BG = BF cdot GC$
А второе соотношение можно переписать в виде:
$frac{AF}{AF+BF} = frac{GC}{GC+BG} = frac{AF+GC}{AF+BF+GC+BG} = frac{m}{m+n}$
Отсюда можно выразить AF и GC через m и n:
$AF = frac{m}{m+n} cdot (AF+BF+GC+BG)$
$GC = frac{n}{m+n} cdot (AF+BF+GC+BG)$
Также из условия задачи известно, что FG = a. Это означает, что треугольник ABF подобен треугольнику GBC с коэффициентом подобия $frac{a}{BG}$. Поэтому можно записать:
$BF = frac{a}{BG} cdot GC$
Теперь можно выразить все неизвестные величины через n и a:
$AF = frac{m}{m+n} cdot (AF+frac{a}{BG} cdot GC+GC+BG)$
$GC = frac{n}{m+n} cdot (AF+frac{a}{BG} cdot GC+GC+BG)$
$BF = frac{a}{BG} cdot GC$
$AF cdot BG = BF cdot GC$
$AF+GC = m$
$BF+BG = n$
Решая эту систему уравнений, можно найти значения всех неизвестных величин. Например, можно сначала выразить GC через AF из первого уравнения, подставить это выражение во второе уравнение и получить квадратное уравнение относительно AF. Решив его, можно найти значения AF и GC, а затем и BF и BG. После этого можно найти длину отрезка AC, используя теорему Пифагора для треугольников ABF и GBC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (AF+BF)^2 + (GC+BG)^2 = (frac{m}{m+n} cdot (AF+BF+GC+BG))^2 + (frac{n}{m+n} cdot (AF+BF+GC+BG))^2$
