Вопрос школьника
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N так, что отношение длин отрезков AM и MB равно 2, отношение длин отрезков BN и NC равно 3. Пусть прямые MN и AC пересекаются в точке P. Найдите PC, если сторона AC равна 10.
Ответ от учителя
Пусть $AM = 2x$, $MB = x$, $BN = 3y$, $NC = y$. Тогда $AC = AM + MB + BN + NC = 2x + x + 3y + y = 4x + 4y = 10$, откуда $x + y = frac{5}{2}$.
Заметим, что $triangle ABM sim triangle BNC$, так как углы при вершине $B$ равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Значит, $frac{AM}{BN} = frac{2x}{3y} = frac{MB}{NC} = frac{x}{y}$, откуда $x = frac{2}{3}y$.
Теперь можем выразить $x$ и $y$ через $AC$: $x = frac{2}{3}(AC — y)$, $y = frac{1}{3}(AC — x)$. Подставляем в уравнение $x + y = frac{5}{2}$ и получаем систему уравнений:
$$begin{cases} x = frac{2}{3}(10 — y) \ y = frac{1}{3}(10 — x) \ x + y = frac{5}{2} end{cases}$$
Решая ее, находим $x = frac{4}{5}$, $y = frac{1}{5}$.
Теперь можем найти отношение $AP:PC$. Заметим, что $triangle AMP sim triangle CNP$, так как углы при вершине $P$ равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Значит, $frac{AP}{CN} = frac{AM}{BN} = frac{2x}{3y} = frac{8}{3}$, откуда $AP = frac{8}{3}CN$.
Также заметим, что $triangle BNP sim triangle ACP$, так как углы при вершине $P$ равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Значит, $frac{PC}{BN} = frac{AC}{AB} = frac{10}{2x + 3y} = frac{50}{17}$, откуда $PC = frac{50}{17}BN$.
Из этих двух соотношений получаем:
$$frac{AP}{PC} = frac{frac{8}{3}CN}{frac{50}{17}CN} = frac{136}{150}$$
Отсюда находим $PC$:
$$PC = frac{150}{136}AP = frac{150}{136} cdot frac{8}{3}CN = boxed{frac{100}{17}}$$
