Вопрос школьника
На сторонах AB и BC треугольника АВС отмечена соответственно точки М и Н так что АМ=4ВМ, СН=4ВН. Докажите,что МН параллельно АС и МН:АС=15/5, используя векторы
Ответ от учителя
Для доказательства параллельности отрезков МН и АС воспользуемся свойством параллелограмма: диагонали параллелограмма делятся пополам. Так как точки М и Н делят стороны AB и BC в отношении 1:4, то векторы AM и CN равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Также векторы BM и BN равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Обозначим векторы AM и CN как a и b соответственно, а векторы BM и BN как c и d соответственно.
Тогда вектор AC можно представить как сумму векторов a и b: AC = a + b. Вектор MN можно представить как разность векторов c и d: MN = c — d. Так как векторы a и b равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то их сумма равна нулю: a + b = 0. Также векторы c и d равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то их разность равна нулю: c — d = 0.
Тогда вектор AC параллелен вектору MN, так как они коллинеарны: AC || MN. Кроме того, по свойству параллелограмма, отрезки МН и АС делятся пополам. Так как АМ = 4ВМ, то вектор a равен 4 вектору c: a = 4c. Аналогично, вектор b равен 4 вектору d: b = 4d. Тогда вектор AC можно представить как сумму векторов 4c и 4d: AC = 4c + 4d = 4(c + d). Таким образом, отношение длин отрезков МН и АС равно 1:3, а отношение векторов MN и AC равно 1:4. Из этого следует, что МН:АС = 1:3 = 15/5.
Таким образом, мы доказали, что отрезки МН и АС параллельны и отношение их длин равно 15/5, используя свойства векторов и параллелограмма.
