Вопрос школьника
На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что отрезок PQ проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что: а) BQ = PD; б) если BP = BQ, то PQ || BD.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольники BQP и DCP. Они равны по двум сторонам (BP = CD, PQ = PQ) и углу между ними (так как PQ проходит через точку пересечения диагоналей, то угол BQP равен углу DCP). Значит, треугольники BQP и DCP равны, а значит, их соответствующие стороны равны: BQ = PD.
б) Рассмотрим треугольники BPQ и BCD. Они равны по двум сторонам (BP = BC, PQ = PQ) и углу между ними (так как PQ проходит через точку пересечения диагоналей, то угол BPQ равен углу BCD). Значит, треугольники BPQ и BCD равны, а значит, их соответствующие углы равны: угол BQP равен углу BDC. Но угол BDC является смежным с углом ABC (так как AB || CD), а значит, угол BQP также равен углу ABC. Таким образом, мы получили, что углы BQP и ABC равны, а значит, PQ || BD (так как углы, смежные с равными углами, также равны).
