Вопрос школьника
На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и К. Отрезки АХ и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и OBK равны соответственно S1, S2, S3.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения отрезков АХ и ВМ находится на стороне АВ и обозначается буквой N. Тогда, так как треугольники ОМА и ОВК подобны (по двум углам), то отношение длин отрезков ОМ и ОВ равно отношению длин соответствующих сторон треугольников ОМА и ОВК:
$$frac{OM}{OV}=frac{OA}{OB}$$
Отсюда следует, что отношение площадей треугольников ОМА и ОВК равно квадрату этого отношения:
$$frac{S_1}{S_3}=left(frac{OA}{OB}right)^2$$
Аналогично, так как треугольники ОАВ и ОМК подобны, то отношение площадей треугольников ОАВ и ОМК равно квадрату отношения длин соответствующих сторон:
$$frac{S_2}{S_1}=left(frac{OM}{OK}right)^2$$
Так как точки М и К лежат на сторонах треугольника ABC, то отношение длин отрезков ОМ и ОК равно отношению длин соответствующих сторон треугольника СМК и треугольника ABC:
$$frac{OM}{OK}=frac{S_{triangle SMK}}{S_{triangle ABC}}$$
Отсюда можно выразить площадь треугольника СМК через площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК:
$$S_{triangle SMK}=S_{triangle ABC}cdotfrac{OM}{OK}=frac{S_1}{S_3}cdotfrac{S_2}{S_1}cdot S_3=frac{S_1S_2}{S_3}$$
Таким образом, площадь треугольника СМК равна произведению площадей треугольников ОМА и ОВК, деленному на площадь треугольника ОБК.
