Вопрос школьника
На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М и X, а на отрезке MK — точка Р так, что AM/MC=CK/KB=MP/PK. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников АМР и ВКР равны S1 и S2.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что отношения сторон треугольника ABC равны отношениям соответствующих отрезков, проведенных из вершин к точке пересечения отрезка MK и стороны треугольника. То есть:
$$frac{AM}{MC}=frac{CK}{KB}=frac{MP}{PK}=k$$
Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c, а высоты, опущенные на эти стороны, равны h1, h2 и h3 соответственно. Тогда площадь треугольника ABC можно выразить через его стороны и высоты:
$$S_{ABC}=frac{1}{2}ah1=frac{1}{2}bh2=frac{1}{2}ch3$$
Заметим, что отношения высот треугольника ABC также равны отношению соответствующих отрезков, проведенных из вершин к точке пересечения отрезка MK и стороны треугольника. То есть:
$$frac{h1}{h2}=frac{AM}{CK}=k$$
$$frac{h2}{h3}=frac{CK}{KB}=k$$
Из этих равенств следует, что:
$$h1=kcdot h2=k^2cdot h3$$
Тогда:
$$S_{ABC}=frac{1}{2}ah1=frac{1}{2}bh2=frac{1}{2}ch3=frac{1}{2}k^2cdot h2cdotfrac{a+b+c}{k+k^2+1}$$
Заметим, что треугольники AMR и VKR имеют общую высоту, опущенную на сторону KR, и отношение их площадей равно отношению соответствующих сторон:
$$frac{S1}{S2}=frac{AM}{CK}=frac{a}{c}$$
Отсюда можно выразить a через c и S1/S2:
$$a=frac{S1}{S2}cdot c$$
Теперь можно выразить площадь треугольника ABC через площадь треугольников AMR и VKR:
$$S_{ABC}=frac{1}{2}k^2cdot h2cdotfrac{frac{S1}{S2}cdot c+b+c}{k+k^2+1}=frac{1}{2}cdotfrac{k^2}{k+k^2+1}cdot h2cdot (S1+c+b)$$
Таким образом, площадь треугольника ABC выражается через площадь треугольников AMR и VKR, а также через стороны треугольника и высоту, опущенную на сторону KR.
