Вопрос школьника
На сторонах АВ и АС треугольника ABC (рис. 163) отметили соответственно точки D и Е так, что AD = 4/7 АС, АЕ = 4/7 АВ. Найдите отрезок DE, если ВС = 21 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Талеса. Согласно этой теореме, если провести параллельную одной стороне треугольника линию, то она будет пересекать другие две стороны в точках, делящих их пропорционально.
В нашем случае мы можем провести параллельную стороне BC линию, проходящую через точки D и E. Обозначим точку пересечения этой линии со стороной AB через F, а со стороной AC через G (см. рисунок).
Тогда, согласно теореме Талеса, имеем:
$frac{AF}{FB} = frac{AD}{DC} = frac{4}{7}$
$frac{AG}{GC} = frac{AE}{EB} = frac{4}{7}$
Заметим, что AF + FB = AB и AG + GC = AC. Поэтому мы можем записать:
$AF + FB + BG + GC = AB + AC$
$AF + BG = BC = 21$ (так как ВС = 21 см)
Теперь нам нужно выразить отрезок DE через отрезки AF и BG. Для этого заметим, что треугольники ADE и ABG подобны, так как у них соответственные углы равны (угол ADE равен углу ABG, так как они соответственные при параллельных прямых, а угол AED равен углу AGB, так как они вертикальные). Поэтому имеем:
$frac{DE}{BG} = frac{AD}{AB} = frac{4}{7}$
Отсюда следует, что:
$DE = frac{4}{7} cdot BG = frac{4}{7} cdot 21 = 12$
Итак, мы получили, что отрезок DE равен 12 см.
