Вопрос школьника
На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М и N, такие, что AM/MB = CN/NA =p/q. В каком отношении точка К пересечения отрезков BN и СМ делит каждый из этих отрезков?
Ответ от учителя
Пусть точка К делит отрезок BN в отношении m:n, тогда точка К делит отрезок СМ в отношении q-p:q.
Для доказательства этого факта воспользуемся теоремой Менелая.
Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой, проходящей через точки М, Н и К.
Для отрезка АМ:
AM/MB = p/q
AN/NC = q-p/q
Применяем теорему Менелая:
AM/MB * BN/NC * CK/AK = 1
p/q * BN/NC * CK/AK = 1
BN/NC * CK/AK = q/p
CK/AK = q/p * NC/BN
CK/AK = q/p * (q/(q-p))
CK/AK = q-p/q
Таким образом, точка К делит отрезок BN в отношении m:n, где
m/n = CK/AK = (q-p)/q
Аналогично, применяя теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой, проходящей через точки М, Н и К, для отрезка АС, получим:
CN/NA * AK/KS * SM/CM = 1
q/p * AK/KS * SM/CM = 1
AK/KS * SM/CM = p/q
AK/KS = p/q * CM/SM
AK/KS = p/q * (q/(q-p))
AK/KS = q-p/q
Таким образом, точка К делит отрезок СМ в отношении q-p:q.
Итак, мы доказали, что точка К делит отрезок BN в отношении (q-p)/q и отрезок СМ в отношении (q-p)/q.
