Вопрос школьника
На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты точки К и N так, что 3АК= 2ВМ = АВ. Найдите косинус угла между прямыми DK и AM.
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Тогда, так как 3AK = AB, то AK = a/3, а BK = 2a/3. Также, так как 2BM = AB, то BM = a/2, а CM = a/2.
Рассмотрим треугольник ABK. По теореме Пифагора:
BK² = AB² — AK² = a² — (a/3)² = 8a²/9
Отсюда BK = (2/3)√2a.
Рассмотрим треугольник BKM. По теореме Пифагора:
BM² = BK² — KM² = (8/9)a² — (a/2)² = (5/36)a²
Отсюда BM = (1/6)√10a.
Теперь рассмотрим треугольник AMK. По теореме Пифагора:
AK² + KM² = AM²
(a/3)² + KM² = (a/2)²
KM² = (5/36)a²
Отсюда KM = (1/6)√5a.
Таким образом, мы нашли длины всех сторон треугольника DKM:
DK = BM = (1/6)√10a
KM = (1/6)√5a
DM = DK + KM = (1/6)√10a + (1/6)√5a = (1/6)√30a
Теперь рассмотрим треугольник ADM. По теореме косинусов:
cos(∠DKM) = (DK² + KM² — DM²) / (2DKKM)
Подставляя найденные значения, получаем:
cos(∠DKM) = [(1/6)√10a]² + [(1/6)√5a]² — [(1/6)√30a]² / [2(1/6)√10a(1/6)√5a]
cos(∠DKM) = (5/18) — (5/18√30)
cos(∠DKM) = (5√30 — 30) / 54
Таким образом, косинус угла между прямыми DK и AM равен (5√30 — 30) / 54.
