Вопрос школьника
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили точки М и К так, что ВМ : AM = ВК : СК = 3:4. Используя векторы, докажите, что МК \ АС.
Ответ от учителя
Для начала обозначим векторы: $vec{AB}=vec{a}$, $vec{BC}=vec{b}$, $vec{AM}=3vec{m}$, $vec{CK}=4vec{k}$.
Так как $vec{BM}=vec{AB}+vec{AM}$, то $vec{BM}=vec{a}+3vec{m}$.
Аналогично, $vec{BK}=vec{BC}-vec{CK}$, то есть $vec{BK}=vec{b}-4vec{k}$.
Так как $vec{BM}=frac{3}{7}vec{BV}$ и $vec{BK}=frac{4}{7}vec{BV}$, то $vec{BV}=vec{BM}+vec{BK}=vec{a}+3vec{m}+vec{b}-4vec{k}$.
Также заметим, что $vec{AS}=vec{AB}+vec{BC}=vec{a}+vec{b}$.
Теперь рассмотрим разность векторов $vec{MK}$ и $vec{AS}$:
$$vec{MK}-vec{AS}=(vec{BM}-vec{BK})-(vec{AB}+vec{BC})=(vec{a}+3vec{m}-(vec{b}-4vec{k}))-(vec{a}+vec{b})=3vec{m}+4vec{k}-vec{b}.$$
Нам нужно доказать, что $vec{MK}parallelvec{AS}$, то есть что $vec{MK}$ и $vec{AS}$ коллинеарны. Для этого достаточно показать, что их разность пропорциональна какому-то вектору.
Заметим, что $vec{BV}$ и $vec{MK}$ имеют одинаковое направление, так как они лежат на параллельных прямых $BV$ и $MK$. Поэтому можно записать:
$$vec{MK}=frac{3}{7}vec{BV}+frac{4}{7}vec{BV}=frac{3}{7}(vec{a}+3vec{m}+vec{b}-4vec{k})+frac{4}{7}(vec{a}+3vec{m}+vec{b}-4vec{k})=frac{7}{7}(vec{a}+3vec{m}+vec{b}-4vec{k})=vec{a}+3vec{m}+vec{b}-4vec{k}.$$
Теперь можно записать:
$$vec{MK}-vec{AS}=(vec{a}+3vec{m}+vec{b}-4vec{k})-(vec{a}+vec{b})=3vec{m}-4vec{k}.$$
Таким образом, мы получили, что $vec{MK}-vec{AS}$ пропорционально вектору $3vec{m}-4vec{k}$. Но мы знаем, что $vec{AM}=3vec{m}$ и $vec{CK}=4vec{k}$, поэтому $3vec{m}-4vec{k}=frac{3}{7}vec{AM}-frac{4}{7}vec{CK}$. Таким образом, мы получили, что $vec{MK}-vec{AS}$ пропорционально вектору $frac{3}{7}vec{AM}-frac{4}{7}vec{CK}$.
Но мы знаем, что $frac{3}{7}vec{AM}=vec{BM}-vec{AB}$ и $frac{4}{7}vec{CK}=vec{BC}-vec{BK}$, поэтому $frac{3}{7}vec{AM}-frac{4}{7}vec{CK}=(vec{BM}-vec{AB})-(vec{BC}-vec{BK})=vec{BM}-vec{BK}=vec{MK}$.
Таким образом, мы доказали, что $vec{MK}-vec{AS}$ пропорционально вектору $vec{MK}$, то есть $vec{MK}$ и $vec{AS}$ коллинеарны. Значит, $vec{MK}parallelvec{AS}$, что и требовалось доказать.
