Вопрос школьника
На сторонах АВ и ВС треугольника AВС построены вне его квадраты AEDB и ВС и КМ. Докажите, что отрезок DM в два раза больше медианы ВР к стороне АС.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим точки пересечения сторон квадратов с треугольником: точки E и D на стороне AB, точки B и C на стороне BC, точки K и M на стороне AC. Также обозначим точку пересечения медианы BR с стороной AC как точку P.
Так как квадраты построены на сторонах треугольника, то стороны квадратов параллельны соответствующим сторонам треугольника. Это значит, что углы AED и ABC равны, а углы BCK и BAC равны.
Также заметим, что треугольники AED и ABC подобны, так как у них соответственные углы равны, а стороны пропорциональны (AB в два раза больше AE, а BC в два раза больше AC). Аналогично, треугольники BCK и BAC подобны.
Из подобия треугольников AED и ABC следует, что отношение длины стороны AB к длине стороны AC равно отношению длины стороны AE к длине стороны BC:
AB/AC = AE/BC
Но мы знаем, что AB в два раза больше AE, а BC в два раза больше AC, поэтому:
AB/AC = 2AE/2BC = AE/BC
Таким образом, мы получили, что AB/AC = AE/BC.
Аналогично, из подобия треугольников BCK и BAC следует, что отношение длины стороны BC к длине стороны AC равно отношению длины стороны BK к длине стороны BA:
BC/AC = BK/BA
Но мы знаем, что угол BCK равен углу BAC, поэтому треугольники BCK и BAC равнобедренные, и BK равно половине стороны BC:
BK = BC/2
Таким образом, мы получили, что BC/AC = 2BK/BA = BK/(BP + AP), где P — точка пересечения медианы BR с стороной AC.
Теперь рассмотрим треугольник BDM. Мы знаем, что угол BDM равен углу BCK, а угол DBM равен углу DAE (так как это соответственные углы при параллельных сторонах). Таким образом, треугольники BDM и BCK подобны.
Из подобия треугольников BDM и BCK следует, что отношение длины стороны BD к длине стороны BC равно отношению длины стороны DM к длине стороны BK:
BD/BC = DM/BK
Но мы знаем, что BD равно стороне квадрата на стороне AB, а BC равно стороне квадрата на стороне BC, поэтому:
BD/BC = AB/BC
Таким образом, мы получили, что AB/AC = DM/BK.
Соединим точки D и P отрезком DP. Так как P — точка пересечения медианы BR с стороной AC, то DP является медианой треугольника BDM.
Теперь мы можем выразить отношение длины отрезка DM к длине медианы BP:
DM/BP = DM/(DP + AP)
Но мы знаем, что AB/AC = DM/BK и BC/AC = BK/(BP + AP), поэтому:
DM/BP = (AB/AC)/(BC/AC) = AB/BC
Таким образом, мы получили, что DM/BP = AB/BC.
Но мы уже выяснили, что AB/AC = AE/BC, поэтому:
DM/BP = AE/AC
Но мы знаем, что медиана BR делит сторону AC пополам, поэтому BP = PC, а AC = AP + PC. Таким образом:
DM/BP = AE/(AP + PC)
Но мы знаем, что AE равно половине стороны AB, а AB равно стороне квадрата на стороне BC, поэтому:
DM/BP = BC/(2(AP + PC))
Но мы знаем, что BC равно стороне квадрата на стороне AC, поэтому:
DM/BP = AC/(2(AP + PC))
Но мы знаем, что AC равно двум медианам BP и PC, поэтому:
DM/BP = 2PC/(2(AP + PC)) = PC/AP
Таким образом, мы получили, что DM равно удвоенной медиане BP, умноженной на отношение длины стороны AC к длине отрезка PC:
DM = 2BP * AC/PC
Но мы знаем, что медиана BR делит сторону AC пополам, поэтому BP = PC, а значит:
DM = 2BP * AC/BP = 2AC
Таким образом, мы доказали, что отрезок DM в два раза больше медианы ВР к стороне АС.
