Вопрос школьника
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки К и М так, что АК: КВ= ВМ: МС= 1 : 5. В каком отношении прямая КМ делит медиану, выходящую из вершины В?
Ответ от учителя
Пусть точка D — середина стороны AB, а точка E — середина стороны BC. Тогда медиана, выходящая из вершины B, проходит через точку F — точку пересечения отрезков DE и KM.
Так как АК: КВ= ВМ: МС= 1 : 5, то можно записать, что АК = x, КВ = 5x, ВМ = 5y, МС = y, где x и y — произвольные положительные числа.
Тогда, применяя теорему Талеса к отрезкам АК и КВ, получаем:
$frac{BD}{DA}=frac{KV}{KA}=frac{5x}{x+5x}=frac{5}{6}$
Аналогично, применяя теорему Талеса к отрезкам ВМ и МС, получаем:
$frac{BE}{EC}=frac{VM}{MS}=frac{5y}{y+5y}=frac{5}{6}$
Таким образом, точка F — середина отрезка DE делит медиану, выходящую из вершины В, в отношении 5:1. То есть, отрезок BF составляет 1/6 от длины медианы, выходящей из вершины В, а отрезок EF — 5/6 от длины этой медианы.
