Вопрос школьника
На сторонах АВ, ВС, АС равнобедренного треугольника ABC с основанием АС отмечены точки М, К, Р соответственно так, что ∠AMP = ∠PKC и AM = КС. а) Докажите, что MP = РК. б) Докажите, что прямые МК и BP взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
а) Из условия задачи следует, что треугольники AMP и CKP подобны, так как у них равны два угла и одна сторона пропорциональна. Тогда отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих высот, то есть:
$frac{MP}{PK} = frac{AM}{KC}$
Но так как $AM = KC$, то $MP = PK$.
б) Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то высота, опущенная из вершины C, делит сторону AB пополам. Обозначим точку пересечения высоты с AB через Q.
Так как MQ и KQ являются высотами треугольников AMP и CKP соответственно, то они перпендикулярны соответствующим сторонам. Также MQ и KQ пересекаются в точке Q, которая является серединой стороны AB.
Теперь рассмотрим треугольник ABP. Так как MQ и KQ являются высотами треугольников AMP и CKP соответственно, то они перпендикулярны стороне BP. Также MQ и KQ пересекаются в точке Q, которая лежит на стороне BP.
Из этого следует, что прямые МК и BP взаимно перпендикулярны.
