Вопрос школьника
На сторонах АВ, ВС, CD, DA параллелограмма A BCD взяты соответственно точки М, N, К, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что центр симметрии четырёхугольника MNKL совпадаете центром симметрии параллелограмма ABCD.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки $M$, $N$, $K$, $L$ делят стороны параллелограмма в одном и том же отношении, значит, они лежат на одной прямой, которую мы обозначим как $l$.
Пусть $O$ — центр симметрии параллелограмма $ABCD$, а $O’$ — центр симметрии четырехугольника $MNKL$. Нам нужно доказать, что $O=O’$.
Рассмотрим отрезок $MO$. Так как $O$ — центр симметрии параллелограмма, то $MO=NO$. Аналогично, $KO=LO$. Значит, $MO=NO=KO=LO$.
Таким образом, мы получили, что точки $M$, $N$, $K$, $L$ лежат на окружности с центром в точке $O’$ и радиусом $OM=ON=OK=OL$.
Теперь рассмотрим отрезок $MN$. Так как $M$ и $N$ делят сторону $AB$ в одном и том же отношении, то $MN$ параллельна $AB$. Аналогично, $KL$ параллельна $AB$. Значит, $MNKL$ — параллелограмм.
Таким образом, мы получили, что точки $M$, $N$, $K$, $L$ лежат на параллелограмме $MNKL$. Значит, центр симметрии этого четырехугольника лежит на пересечении диагоналей $MK$ и $NL$. Обозначим эту точку как $O»$.
Так как $MNKL$ — параллелограмм, то $O»$ — середина диагонали $MK$. А так как $OM=O»M$, то $O»$ лежит на окружности с центром в точке $O’$ и радиусом $OM$. Аналогично, $O»$ лежит на окружности с центром в точке $O’$ и радиусом $ON$, $OK$, $OL$. Значит, $O»$ совпадает с $O’$.
Таким образом, мы доказали, что центр симметрии четырехугольника $MNKL$ совпадает с центром симметрии параллелограмма $ABCD$.
