Вопрос школьника
На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы
Ответ от учителя
Для доказательства того, что ABCD и MNPQ являются параллелограммами, необходимо показать, что их противоположные стороны параллельны и равны.
Рассмотрим стороны AB и CD. По условию, точки M и P лежат на сторонах AB и CD соответственно, причем AM = CR и CP = AN. Таким образом, треугольники AMN и CRP равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны в целом. Это означает, что углы AMN и CRP равны, а значит, прямые AB и CD параллельны.
Аналогично можно доказать, что прямые BC и AD параллельны.
Теперь рассмотрим стороны BC и MN. По условию, точки N и P лежат на сторонах BC и CD соответственно, причем BN = DQ и CP = AN. Таким образом, треугольники BNM и DQP равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны в целом. Это означает, что углы BNM и DQP равны, а значит, прямые BC и MN параллельны.
Аналогично можно доказать, что прямые AD и PQ параллельны.
Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллелограмма ABCD параллельны. Осталось показать, что они равны.
Рассмотрим стороны AB и MN. По условию, точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно, причем BM = DP и BN = DQ. Таким образом, треугольники BNM и DQP равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны в целом. Это означает, что стороны BM и DP равны, а значит, стороны AB и MN равны.
Аналогично можно доказать, что стороны BC и PQ, AD и MP также равны.
Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллелограмма ABCD параллельны и равны. Аналогично, можно доказать, что противоположные стороны параллелограмма MNPQ параллельны и равны.
Следовательно, мы доказали, что ABCD и MNPQ являются параллелограммами.
