Вопрос школьника
На сторонах АВ, ВС и АС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили соответственно точки D, Е и F такие, что AD = СЕ, ADF= CEF Докажите, что луч FB — биссектриса угла DFE.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что из условия задачи следует, что треугольники ADF и CEF равны, так как они имеют равные стороны AD и CE и равные углы ADF и CEF. Значит, у них также равны углы FDA и FEC.
Теперь рассмотрим треугольник DEF. У него есть две боковые стороны DE и EF, которые равны соответственно сторонам AD и CE равнобедренного треугольника АВС. Значит, стороны DE и EF также равны между собой. Также у треугольника DEF есть углы DFE и EFD, которые являются соответственно углами ADF и FEC. Значит, они также равны между собой.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике DEF две боковые стороны равны, а углы при них также равны. Значит, по свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла между этими сторонами (то есть луч FB) будет проходить через вершину треугольника DEF (то есть точку F) и делить угол DFE пополам. Таким образом, луч FB действительно является биссектрисой угла DFE.
