Вопрос школьника
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC извне построены квадраты с центрами OA, OB и OC. Докажите, что: а) отрезки AOA и OBOC равны и перпендикулярны; б) прямые AOA, BOB и COC пересекаются в одной точке.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник ABC и квадраты, построенные на его сторонах. Пусть точка O — центр квадрата, построенного на стороне AB. Тогда, так как сторона квадрата параллельна стороне треугольника, то угол AOB прямой. Также, так как сторона квадрата равна стороне треугольника, то треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный. Значит, AO=BO. Аналогично, можно доказать, что BO=CO и CO=AO. Таким образом, отрезки AOA и OBOC равны.
Теперь рассмотрим угол между отрезками AOA и OBOC. Так как AO=BO, то треугольник AOB — равнобедренный, а значит, угол между AO и BO равен 45 градусам. Также, так как сторона квадрата перпендикулярна к его диагонали, то отрезки AO и BO перпендикулярны. Значит, отрезки AOA и OBOC перпендикулярны.
б) Рассмотрим точки пересечения прямых AOA и BOB, BOB и COC, COC и AOA. Пусть первая точка пересечения — точка P. Тогда, так как отрезки AOA и OBOC перпендикулярны, то угол AOP прямой. Аналогично, угол BOP прямой. Значит, точка P лежит на прямой, проходящей через центры квадратов на сторонах AB и BC. Аналогично, можно доказать, что точка P лежит на прямой, проходящей через центры квадратов на сторонах BC и AC, и на прямой, проходящей через центры квадратов на сторонах AC и AB. Таким образом, прямые AOA, BOB и COC пересекаются в одной точке.
