Вопрос школьника
На сторонах квадрата ABCD отметили точки М, N, К и Р так, что AM : ВМ= CN : BN= CK : DK = AP : DP= 5 : 2. Найдите площадь четырёхугольника MNKP, если сторона квадрата равна а
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата равна а. Тогда, так как AM : ВМ = 5 : 2, то AM = 5a / 7 и ВМ = 2a / 7. Аналогично, CN = 5a / 7 и BN = 2a / 7, CK = 5a / 7 и DK = 2a / 7, AP = 5a / 7 и DP = 2a / 7.
Теперь рассмотрим треугольник АМК. Он равнобедренный, так как AM = CK = 5a / 7. Пусть точка пересечения медиан треугольника АМК обозначается буквой О. Тогда ОМ = ОК = 2 / 3 * АО. Но АО = 1 / 2 * а, так как О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Поэтому ОМ = ОК = 1 / 3 * а.
Аналогично, рассмотрим треугольник ВНР. Он также равнобедренный, и точка пересечения медиан обозначается буквой Q. Тогда QN = QP = 1 / 3 * а.
Теперь мы можем найти площадь четырёхугольника MNKP. Он состоит из двух треугольников: АМК и ВНР. Площадь каждого из них равна 1 / 2 * (ОМ * АК) и 1 / 2 * (QN * BP) соответственно. Подставляя найденные значения, получаем:
S(АМК) = 1 / 2 * (1 / 3 * а) * (5a / 7) = 5a^2 / 63
S(ВНР) = 1 / 2 * (1 / 3 * а) * (5a / 7) = 5a^2 / 63
Итак, площадь четырёхугольника MNKP равна:
S(MNKP) = S(АМК) + S(ВНР) = 10a^2 / 63
Ответ: площадь четырёхугольника MNKP равна 10a^2 / 63.
