Вопрос школьника
На сторонах параллелограмма построены квадраты. Докажите, что их центры симметрии являются вершинами квадрата.
Ответ от учителя
Пусть дан параллелограмм ABCD, на сторонах которого построены квадраты ABEF, BCGH, CDIJ и DAKL.
Для начала заметим, что диагонали параллелограмма ABCD делят его на два равных треугольника: ABD и BCD. Также заметим, что диагонали квадратов ABEF и CDIJ проходят через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, а диагонали квадратов BCGH и DAKL проходят через точку пересечения диагоналей BCD.
Теперь рассмотрим центры симметрии квадратов. Пусть O1, O2, O3 и O4 — центры квадратов ABEF, BCGH, CDIJ и DAKL соответственно.
Заметим, что точки A, B, C и D являются центрами квадратов ABEF, BCGH, CDIJ и DAKL соответственно. Действительно, отрезки AO1, BO2, CO3 и DO4 являются диагоналями квадратов, а значит, проходят через центры квадратов и точки A, B, C и D.
Также заметим, что отрезки O1O2, O2O3, O3O4 и O4O1 являются диагоналями параллелограмма ABCD. Действительно, отрезки O1O2 и O3O4 проходят через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, а отрезки O2O3 и O4O1 проходят через точку пересечения диагоналей BCD.
Таким образом, мы получили, что центры квадратов ABEF, BCGH, CDIJ и DAKL являются вершинами квадрата ABCD. Доказательство завершено.
